Plano de aulas / resumo do que já aconteceu:
1ª aula (16/mar): (a turma ainda não existia)
2ª aula (17/mar): (a turma ainda não existia)
3ª aula (23/mar): (não pude dar aula, vamos repor depois)
4ª aula (24/mar): Exercício de conversão entre representação
gráfica e representação formal.
5ª aula (30/mar):
Começamos com esta região:
{(x,y)∈R^2 | (3<=x<=5 e 1<=y<=2) ou (2<=x<=4 e 1<=y<=2)}
como representá-la graficamente?
Depois passamos para esta,
{(x,y)∈R^2 | (1<=x<=3 e 1<=y<=2) ou (1<=x<=2 e 1<=y<=3)}
e apareceram várias hipóteses sobre como ela seria; pedi pros
alunos escreverem a descrição de cada uma dessas hipóteses
formalmente, nomeando pontos e descrevendo a borda de região. Vimos
que uma das hipóteses estava errada - ela continha um ponto que não
pertencia ao conjunto dado pela expressão "{...}" acima.
Vimos que é fácil mostrar que dois conjuntos são diferentes - basta
encontrar um ponto que só pertença a um deles. Mostrar que dois
conjuntos são iguais pode ser _bem_ mais difícil.
Mostrei duas representações para retas:
{(x,y)∈R^2 | y=x/2+1}
{(0,1)+t(2,1) | t∈R}
Pra casa: mostrar que o ponto (2,3) não pertence a estas retas, de
um modo que convença a minha avó.
Discutimos a operação f(x,y) = (x+2,y+1); ela leva cada ponto do
plano num outro ponto do plano. Também podemos aplicá-la a todos os
pontos de um conjunto; fizemos A=(0,0), B=(0,1), C=(1,0), D=(1,1) e
calculamos {f(A),f(B),f(C),f(D)}.
Pedi pros alunos lerem o livro do Cederj, págs. 9-21,
principalmente pra eles terem uma noção da definição formal de
vetor. Ela é bem estranha, mas a operação +(2,1) é bem natural.
6ª aula (31/mar): Comecei a aula explicando que o livro usa
"tecnologia moderna" - variáveis e conjuntos infinitos - em todo
lugar. Isso é parecido com celular com câmera: se a gente nunca
teve um celular com câmera a gente não entende como é possível
tirar foto com celular, mas se a gente tem um a gente sabe que
basta apertar o botão. Os nossos antepassados matemáticos
desenvolveram toda essa tecnologia ao longo de séculos e em todos
os detalhes; hoje em dia a gente usa ela como se fosse simples,
como se bastasse apertar o botão.
Defini estes quatro conjuntos:
A = { (x,y) | x>=2 }
B = { (x,y) | x>1 }
C = { (x,y) | y>=2 }
D = { (x,y) | y-2>=0 }
e pedi pros alunos representarem eles graficamente do modo mais
claro possível - lembrando que a gente pode usar texto, diagramas e
notação matemática, e que o objetivo é sempre chegar a algo que a
minha avó entenda imediatamente e que não tenha nenhuma
ambiguidade.
Mostrei os sinais de "contido ou igual", "contido e diferente" e
"não contido"; cada sentença como "X sinal Y", onde o "sinal" pode
ser cada um desses três sinais e tanto X quanto Y podem ser cada um
dos quatro conjuntos A, B, C e D, vai ser verdadeira ou falsa, e
eles vão ter que saber descobrir se ela é verdadeira ou falsa e
justificar porquê. Já vimos que algumas destas provas são fáceis -
as que só precisam que a gente exiba um ponto com certas
características - e outras, como a de "A está contido em B", são
mais difíceis.
Começamos a ver vetores. Todo mundo lembra da definição
"operacional" (do ensino médio) de vetores.
No ensino médio dois segmentos são _equipolentes_ quando são da
forma A(A+v) e B(B+v). Exemplo: se
A = (3, 4),
B = (3, 2) e
v = (2, 1)
então A(A+v) e B(B+v) são equipolentes.
Esse "da forma que" é um jargão matemático importante. Defini
C = (3, 5) e
D = (3, 3)
e pedi pros alunos mostrarem que AC e BD são equipolentes usando a
definição (eles precisavam encontrar o v e escrever a resposta
direito).
Existem _muitos_ segmentos orientados equipolentes a AC. O livro
considera o conjunto de _todos_ esses vetores (orientados,
equipolentes a AC) e diz que o vetor (-1,1) vai ser representado
(formalmente) como esse conjunto (!!!). E ele ainda faz uma outra
coisa mais complicada: ele pega o conjunto de todos os vetores
orientados e R^2 e divide ele em infinitos subconjuntos...
Na p.10 o livro usa _semiplanos_ pra testar se dois segmentos com a
mesma direção têm ou não o mesmo sentido.
6.5ª aula (01/abr, 9-11) Aula extra. Discutimos uma prova do teorema
de Pitágoras e como escrevê-la (vou pôr os detalhes aqui depois). O
"caso geral" dela - no qual as coordenadas dos pontos envolvem
variáveis - era uma introdução à lista de exercícios que o
Reginaldo passou:
http://angg.twu.net/GA/lista1_GA_2011.1.pdf
Importante:
**************************************************************
***** Comecem a fazer os exercícios desta lista o mais rápido
***** possível! O teste vai ter questões no nível dos problemas
***** desta lista, e temos só mais uma aula pra tirar o máximo
***** possível de dúvidas! Lembre que as provas vão medir a sua
***** capacidade de encontrar argumentos matemáticos corretos e a
***** escrevê-los de modo claro - e 90% do trabalho pra aprender a
***** fazer isto acontece fora da sala de aula!... Uma dica:
***** quando você encontrar algo que você não consiga escrever bem
***** faça uma primeira vez o melhor possível, e algumas horas
***** depois, ou no dia seguinte, volte ao que você escreveu e
***** tente melhorá-lo!
**************************************************************
7ª aula (06/abr): várias operações (e propriedades): magnitude de
vetor, multiplicação de vetor por escalar, produto interno,
linearidade do produto interno, ortogonalidade. Eu queria ter
entrado em projeção sobre vetor, famílias de retas e famílias de
curvas, mas ainda não deu.
A gente se concentrou nestes problemas que eu propus pra tentar
complementar a lista de exercícios:
1) Sejam v=(1,1), w=(-2,1). Encontre um valor de a tal que
v _|_ w+av.
2) Represente graficamente v, av, w, w+av no caso geral, isto é,
quando a e as coordenadas de v e w são variáveis.
3) Sejam A=(3,2), B=(1,4), C=(-2,1), D=(0,1). Encontre vetores
perpendiculares a A-O, B-O, C-O, D-O.
8ª aula (07/abr): 1º teste, cobrindo a mesma matéria que o Reginaldo e
o Antônio estão dando nas turmas deles. Consulte o plano de curso
do Reginaldo:
http://angg.twu.net/GA/plano_GA_reginaldo_2011.1.pdf
O teste vai ser nos últimos 40 minutos da aula. Vamos usar o início
da aula para tirar dúvidas da lista de exercícios.
Scan do teste e do gabarito:
http://angg.twu.net/GA/GA_teste1_2011apr07.pdf
http://angg.twu.net/GA/GA_teste1_2011apr07.djvu
9ª aula (13/abr): (vou pôr o resumo depois)
10ª aula (14/abr): (vou pôr o resumo depois)
11ª aula (20/abr): *** Saíram as notas do 1º teste - veja abaixo ***
Ângulo entre retas. Projeção ortogonal. Distância entre ponto e reta
e entre duas retas. 1º horário de vista de prova: 16:00-18:00.
(Antes disto devo estar ocupado com a prova para monitor de
Matemática Discreta.)
12ª aula (21/abr): Feriado.
13ª aula (27/abr): Discutimos como calcular a distância entre um ponto
e uma reta. O livro chega a uma fórmula (p.75 e 76?), mas avisei aos
alunos que decorar esse tipo de fórmula é a receita pro fracasso;
temos que aprender a deduzí-las e a escrever a dedução.
Idéia: "se s é uma reta perpendicular a r e que passa por P, então
seja Q a interseção entre r e s. A distância entre P e r (notação:
d(P,r)), é ||PQ||". Sabemos representar esta idéia geometricamente -
como traduzí-la para "contas"?
Exemplo: r={(3,2)+t(4,3)|t∈R},
P=(1,6),
A=(3,2),
B=(7,5),
v=(4,3).
Um modo de arrumar a solução:
Seja <- "Definição:"
r <- nome do objeto sendo definido
a seguinte reta: <- redundante, pra ficar claro
r={(3,2)+t(4,3)|t∈R}
Podemos reescrever a <- algo que queremos fazer
descrição formal de r mas ainda não sabemos como
nesta forma:
r={(x,y)|y=ax+b}
Vamos fazer isto passo a passo.
r={(3,2)+t(4,3)|t∈R} <- sabemos que este "=" é verdade
={(3+4t,2+3t)|t∈R} <- este "=" é fácil
= ...
O vetor w=(-3,4) <- definição
é ortogonal ao vetor (4,3), <- isto é fácil ("imediato")
e a reta
s={(1,6)+u(-3,4)|u∈R} <- definiçãp
é ortogonal a r <- é fácil verificar isto
e passa pelo ponto P. <- idem (tente u=0).
Seja Q o ponto de interseção de r e s. <- definição (geométrica)
Podemos calcular Q:
...
Pedi pros alunos completarem este desenvolvimento,
e pus este aviso no quadro:
*** Lembre que estamos querendo aprender não só a fazer contas
como a escrever o desenvolvimento numa forma que seja à prova
de professores mal-humorados!
14ª aula (28/abr): Na aula passada ficou faltando um truque
(algébrico): Digamos que
r = {(3,2)+t(4,3)|t∈R}
= {(3+4t,2+3t)|t∈R}
então criamos uma variável nova, x, que está relacionada com t desta
forma:
x = 3+4t
aí:
x-3 = 4t
t = (x-3)/4
e:
r = {(x, 2+3((x-3)/4))|x∈R}
= {(x, 3x+(2-9/4))|x∈R}
que está na forma
r = {(x,y) | y=ax+b}.
Com o que a gente viu na aula passada dá pra deduzir um monte de
fórmulas de uma vez!
(1) Distância entre duas retas (paralelas)
(2) Distância entre ponto e círculo
(3) Distância entre reta e círculo
(4) Distância entre círculos
(5) Ponto de tangência entre reta e círculo
(6) Ponto de tangência entre círculos.
Distância entre duas retas paralelas, r e s
-------------------------------------------
Sejam A e B dois pontos diferentes em r.
Seja v=AB.
Seja w_|_v, w!=0.
Seja p a reta p = {A+tw | t∈R}.
Seja Q o ponto de interseção entre p e s.
A distância entre r e s é d(r,s) = ||AQ||.
*** Pra casa: escolha duas retas paralelas com coeficiente angular
*** 3/4, 4/3, -3/4 ou -4/3 e encontre a distância entre elas. Deduza
*** a fórmula geral e teste-a usando-a para resolver o seu exemplo.
*** Dica: reservem várias horas pra fazer este exercício!
(Obs: algumas pessoas nunca tinham visto direito coeficiente
angular e coeficiente linear. Mostrei a interpretação geométrica e
pedi pra todo mundo pensar em casa no seguinte: digamos que
r = {(x,y)∈R^2 | y=ax+b}
s = {(x,y)∈R^2 | y=a'x+b'}
Se r e s são ____, qual a reação entre r e s?
(1) "____" = paralelas
(2) "____" = coincidentes
(3) "____" = ortogonais
(4) "____" = concorrentes)
Círculos
--------
Seja C o círculo de raio r e centro A.
Então: C = {B∈R^2 | ||AB||=r}.
Def: o interior de C é o conjunto {B∈R^2 | ||AB||<r}.
Def: o exterior de C é o conjunto {B∈R^2 | ||AB||>r}.
Exercício: se A=(2,1) e r=5, determine quais dos pontos abaixo
(desenhei um grid; marquei todos os pontos com coordenadas
inteiras positivas pequenas) pertencem a C, ao interior de C e ao
exterior de C. Marque com "C" os que pertencem a C, com "E" os que
pertencem ao exterior de C, e com "I" os que pertencem a C.
y=7 | E E E E E E E
y=6 | E C E E E E E
y=5 | I I I I C E E
y=4 | I I I I I C E
y=3 | I I I I I I E
y=2 | I I I I I I E
y=1 | I A I I I I C
+--------------
x=0 1 2 3 4 5 6 7
O Luís Everardo propôs que a gente testasse o ponto W=(5.5, 4.5),
porque visualmente ele parecia estar em C; fizemos as contas e
descobrimos que d(A,W) era aproximadamente 4.95 (< 5).
Exercício (casa): ainda com A=(2,1), encontre a interseção entre
C = {B∈R^2 | ||AB||=5}
e a reta
r = {(x,y)∈R^2|x=6}.
Distância entre reta e círculo
------------------------------
Digamos que C seja um círculo de centro A e raio r e seja s uma
reta. Seja s' uma reta perpendicular a s que passa por A. Seja B o
ponto de interseção entre s e s'. Então B é o ponto de s mais
próximo de A. Aí:
se d(A,B) = r então B é o ponto de tangência entre C e s;
se d(A,B) > r então C e s são disjuntos (não têm interseção);
se d(A,B) < r então C∩s tem dois pontos (meio chatos de calcular).
Se d(A,B) > r então como calcular d(C,s)? Pensem em casa!
15ª aula (04/mai): Sistemas de coordenadas.
Vamos usar vários sistemas de coordenadas:
(x,y) = O' + x'v' + y'v'
= O'' + x''v'' + y''v''
= O''' + x'''v''' + y'''v'''
etc.
Quando formos dar nomes para as coordenadas dos pontos O', O'', ...
e dos vetores v', v'', ..., w', w'', ... nós em geral vamos usar:
O' = (o'_1, o'_2), v' = (v'_1, v'_2), w' = (w'_1, w'_2),
O'' = (o''_1,o''_2), v'' = (v''_1,v''_2), w'' = (w''_1,w''_2),
etc.
Exemplo:
O = (0,0), v=(1,0), w=(0,1),
O'= (3,2), v'=(2,0), w'=(0,1/2),
O''=(2,5), v''=(4/5,-3/5), w''=(3/5,4/5),
O'''=(6,3), v'''=((1,1), w'''=(2,1).
Repare que então:
(x,y) = O + xv + yw
= (0,0) + x(1,0) + y(0,1),
ou seja, (O, v, w) é a "base usual".
Exercicio: Seja (x,y)=(2,3).
Descubra (x',y'), (x'',y''), (x''',y''').
Dica 1: dá pra conseguir x' e y' graficamente (e depois conferir
graficamente se os valores estão certos).
Dica 2: v'', w'' é uma _base ortonormal_: ||v''||=||w''||=1,
v''·w''=0. Truque: u'=(u·v'')v''+(w·w'')w''. Pense em termos de Pr_v,
Pr_w...
(Todo mundo ama bases ortornormais porque as contas com elas são
fáceis de fazer).
Dica 3: esqueça temporariamente que (x,y)=(2,3), e digamos que
(x',y')=(-1/2,4). Então quem é o ponto (x,y)? Interprete isto
graficamente.
Cuidado! Várias pessoas estão fazendo isto:
(x',y') = (3,2)+x'(2,0)+y'(0,1/2)
Esta igualdade é falsa!
*** Incompleto - falta a parte sobre bases ortonormais ***
16ª aula (05/mai): Cônicas e sistemas de coordenadas.
Vamos usar "sistemas de coordenadas" (triplas (O,v,w)) um pouco
diferentes dos da aula passada - estes aqui:
(O',v',v') = ((3,2),(2,0),(0,1/2))
(O'',v'',v'') = ((2,4),(1,0),(1,1))
(O''',v''',v''') = ((1,2),(1,0),(0,1))
Sejam C_1, C_5, H_0, H_1, H_2 os seguintes círculos e hipérboles:
C_1 = {(x,y)∈R^2|x^2+y^2=1}
C_5 = {(x,y)∈R^2|x^2+y^2=25}
H_0 = {(x,y)∈R^2|xy=0} <- "hipérbole degenerada"
H_1 = {(x,y)∈R^2|xy=1}
H_2 = {(x,y)∈R^2|xy=2}
Pra descobrir como representar graficamente estes conjuntos podemos
encontrar alguns pontos que pertençam a eles, e aí fazer hipóteses
sobre como os outros pontos destes conjuntos podem ser, e testá-las.
Repare que podemos começar com uma série de afirmações verdadeiras:
(1,0)∈C_1
(0,1)∈C_1
(0,-1)∈C_1
(-1,0)∈C_1
(3/4,4/5)∈C_1
(0,5)∈C_5
(5,0)∈C_5
(2,0)∈H_0
(0,4)∈H_0
etc.
Obs: um conjunto feito de duas retas que se cruzam é uma "hipérbole
degenerada". Usamos o termo "degenerado" pros casos em que uma figura
"vira algo mais simples" - por exemplo, um triângulo de lados 2, 2 e
4, que "é" um segmento de reta; um ponto "é" um círculo de raio 0;
etc.
Vocês estão acostumados a trabalhar com situações nas quais as
coordenadas "variam juntas". Por exemplo, se sabemos que
y=2x,
ou seja, estamos lidando com pontos da reta
{(x,y)∈R^2|y=2x}
então x=3 implica y=6.
Algo parecido acontece com mudanças de coordenadas.
Vamos começar com:
(x,y) = O''' + x'''v''' + y'''w'''
= (1,2) + x'''(1,0) + y'''(0,1)
= (1+x''', 2+y''')
A equação x^2+y^2=1 coresponde a uma equação em x' e y'...
Mais precisamente: queremos encontrar uma equação em x' e y' que seja
verdade exatamente quando a equação em x e y seja verdade para o par
(x,y) correspondente ao (x',y') dado.
A relação entre (x,y) e (x''',y''') é esta:
(x,y) = (1+x''', 2+y'''),
ou seja,
x = 1+x''' e y = 2+y''',
ou seja,
y''' = x-1, y''' = y-2.
Se estamos lidando "com pontos do círculo C_1" (compare com a idéia de
"estarmos na reta {(x,y}∈R^2|y=2x}"!) nós sabemos que x^2+y^2=1.
A relação entre os sistemas de coordenadas nos diz que:
x=1+x''' e y=2+y''',
então sabemos que:
(1+x''')^2+(2+y''')^2 = 1
ou seja:
(x'''^2 + 2x''' + 1) + (y'''^2 +4y''' + 4) = 1,
ou seja,
x'''^2 + 2x''' + y'''^2 + 4y''' = -4.
Vamos definir este conjunto:
C'''_1 = {(x''',y''')∈R^2 | (1+x''')^2+(2+y''')^2=1}
(1) Encontre alguns pontos de C'''_1.
(2) Represente C'''_1 graficamente no plano x''',y'''.
(3) Represente C'''_1 graficamente no plano x,y,
representando cada ponto (x''',y''')∈C'''_1 como
(x,y) = O''' + x'''v''' + y'''w'''.
(Aqui você deve obter C_1!)
17ª aula (11/mai): Vou estar fora, num congresso.
18ª aula (12/mai): Idem. Vamos repor estas aulas depois.
19ª aula (18/mai): Revisão e dúvidas.
20ª aula (19/mai): 1ª prova. Matéria: tudo até círculos e sistemas de
coordenadas (inclusive). Scan da prova (**incluindo o gabarito**):
http://angg.twu.net/GA/GA_P1_2011may19.pdf <-**atualizado**
http://angg.twu.net/GA/GA_P1_2011may19.djvu <-**atualizado**
Os alunos acharam que não tinham condições de fazer a prova, e aí a
gente transformou as questões desta prova numa espécie de lista de
exercícios pra todo mundo se preparar pra P1 "de verdade", que vai
ser na 5ª, 1/junho.
Avisei que a P1 de verdade vai ter uma questão grande como a questão
6 da "P1 cancelada", que envolve encontrar uma construção geométrica
que resolve um certo problema (no caso geral, com coordenadas dadas
por variáveis, não por números), descrever esta construção em
Português, e depois traduzá-la para matematiquês passo a passo,
justificar cada passo, e testar tudo.
Pedi pra todo mundo tentar fazer a questão 6 escrevendo-a do melhor
modo possível, discutir com os colegas pra tentar melhorar o modo de
escrevê-la, e mandar pra mim a solução da 6 (por e-mail ou em papel)
pra eu corrigir e fazer comentários.
Me comprometi a pôr no site o gabarito das questões de hoje e uma
série de critérios que todo mundo deve usar pra testar suas soluções
pra ver se elas estão bem escritas. Já vou listar alguns aqui:
1) Nunca escreva coisas como "P (2,3)"!!! Nunca esqueça o sinal de
"=", e nunca escreva objetos isolados - fora de igualdades ou
de outros tipos de afirmações - a não ser que eles façam parte
de frases em português.
2) Algumas afirmações são _definições_. Neste caso não esqueça de
usar um "seja..." ou alguma outra construção verbal que indique
isto.
3) Quando você introduzir uma variável nova novo sempre diga que
condições ela obedece - por exemplo: "seja x' um real qualquer,
seja v um vetor em R^2, e seja k inteiro maior ou igual a 1".
4) Quando você afirmar algo que pretende provar avise ao leitor
MUITO claramente que aquilo é algo que ainda não sabemos que é
verdade. Muitas demonstrações são feitas começando com
igualdades que não sabemos se são verdadeiras - "a=b", digamos,
onde a e b são expressões -, e manipulando-as para obter outras
igualdades, digamos, "a'=b'", "a''=b''", etc, que são
claramente equivalentes à igualdade anterior, até que num certo
ponto se chega a uma igualdade que é claramente verdade...
5) Use notação de conjuntos sempre que possível! O livro do Cederj
usa uma notação que vai passar a ser proibida nas aulas e nas
provas:
r: / x = 2 + 3t
|
\ y = 4 + 5t
A notação r = {(2+3t, 4+5t) | t∈R} é bem mais precisa, e é bem
mais fácil usar coerentemente a notação de conjuntos quando
precisamos lidar com várias retas (e curvas) diferentes ao
mesmo tempo.
6) No 1º teste várias pessoas mostraram que dois vetores não eram
L.I.s calculando o valor de uma constante λ e obtendo dois
valores diferentes; hoje a Camila me perguntou se poderia
provar que um certo conjunto não era um círculo mostrando que o
seu raio teria que ser menor que 0. O modo correto de
formalizar este tipo de argumento é outro - vou dar exemplos
depois.
-- acrescentados depois: --
7) Não diga coisas como "as duas equações têm os mesmos pontos".
Equações não têm pontos - conjuntos é que têm.
21ª aula (25/mai): paralisação.
22ª aula (26/mai): discutimos o gabarito da P1. Surgiu uma pergunta:
As equações (a+b)(a-b)=64 e a^2-b^2-64=0 são a mesma?
Idéia (Rodolfo): duas equações são "a mesma" quando elas têm as
mesmas soluções.
Proposta (Eduardo):
{(a,b)∈R^2 | (a+b)(a-b)=64} = {(a,b)∈R^2 | a^2-b^2-64=0}
Estes conjuntos são iguais porque têm exatamente os mesmos pontos.
Mas "(a+b)(a-b)=64" e "a^2-b^2-64=0" são equações "diferentes"
porque uma começa com "(" e a outra com "a" - ou seja, vamos ver
equações como seqüência de caracteres. _Não dá pra definir
formalmente em GA conceitos como igualdade e equivalência de
equações_... Mas já definimos quando é que dois conjuntos são
iguais - dois conjuntos são iguais quando têm os mesmos pontos - e
dá pra gente se virar só com igualdade de conjuntos.
Exercícios
==========
Note que o gabarito da questão 6 da prova termina com: "...então
O', C', A' e r' são da forma (...), para a,b,u∈R, (a,b)!=(0,0)". A
solução da questão 6 nos dá um modo de gerar todos os pares
(C',r') onde C' é um círculo e r' é uma reta tangente a C' que
passa pelo ponto (0,0); aliás, ela nos dá um modo de
"parametrizar" todos estes pares (C',r'), usando parâmetros a,b,u.
Faça a mesma coisa para os seguintes problemas:
(1) Caracterize todos os pares (r,s) onde r e s são retas
paralelas.
(2) Idem, mas para retas ortogonais.
(3) Idem, mas para retas paralelas r,s tais que d(r,s)=2.
(4) Caracterize todos os pares (C,A) onde C é um círculo e A é
um ponto de C.
(5) Caracterize todos os pares (C,D) onde C e D são círculos
tangentes.
Sugestão: primeiro resolva a "parte matemática" destes exercícios,
depois tente escrever as soluções de algum modo que obedeça todas
as regras listadas acima (na "20ª aula").
22.5ª aula (27/mai): aula extra, 14-16hs.
23ª aula (01/jun):
24ª aula (02/jun): P1 (*** nova data!!! ***)
Questões e gabarito:
http://angg.twu.net/GA/GA_P1_2011jun01.pdf
http://angg.twu.net/GA/GA_P1_2011jun01.djvu
Regras:
http://angg.twu.net/LATEX/2011-1-GA-regras.pdf
25ª aula (08/jun): vi que eu iria chegar atrasado demais, e mandei um
e-mail pros alunos avisando que a aula de hoje seria cancelada e
reposta depois.
Dêem uma olhada nestas listas do Reginaldo:
http://angg.twu.net/GA/lista1_GA_2011.1.pdf
http://angg.twu.net/GA/lista2_1_2011.pdf <== ***novidade***
http://angg.twu.net/GA/lista3_1_2011.pdf <== ***novidade***
http://angg.twu.net/GA/lista4_1_2011.pdf
http://angg.twu.net/GA/lista5_1_2011.pdf
http://angg.twu.net/GA/lista6_1_2011.pdf <== ***novidade***
http://angg.twu.net/GA/lista7_1_2011.pdf <== ***novidade***
Vou preparar uma lista de sistemas de coordenadas e entregá-la
amanhã.
26ª aula (09/jun):
Discutimos alguns problemas desta lista de exercícios:
http://angg.twu.net/GA/GA_lista_2011jun09.pdf
http://angg.twu.net/GA/GA_lista_2011jun09.djvu
27ª aula (15/jun):
28ª aula (16/jun):
29ª aula (22/jun):
30ª aula (23/jun): feriado.
31ª aula (29/jun):
32ª aula (30/jun):
33ª aula (06/jul): mini-teste.
34ª aula (07/jul): P2
35ª aula (13/jul): VR
36ª aula (14/jul): VS
Scans (depois eu ponho eles nos "dias" certos):
http://angg.twu.net/GA/GA_exercicios_2011jun16.djvu
http://angg.twu.net/GA/GA_exercicios_2011jun16.pdf
http://angg.twu.net/GA/GA_miniteste_2011jul06.djvu
http://angg.twu.net/GA/GA_miniteste_2011jul06.pdf
http://angg.twu.net/GA/GA_P2_2011jul07.djvu
http://angg.twu.net/GA/GA_P2_2011jul07.pdf
http://angg.twu.net/GA/GA_VS_2011jul14.djvu
http://angg.twu.net/GA/GA_VS_2011jul14.pdf
|